पोंकारे और प्रेरण का सिद्धांत

उनकी लोकप्रिय पुस्तक "विज्ञान और परिकल्पना" (1905) में, हेनरी पोंकारे का तर्क है कि गणित को तर्क या समुच्चय सिद्धांत तक सीमित नहीं किया जा सकता और यह कि हमेशा बाहरी अपील की आवश्यकता होती है स्थापित करने के लिए हमारे अंतर्ज्ञान से संबंधित सिद्धांत गणित की नींव. वह अलग हो गया इन सिद्धांतों में से एक के रूप में प्रेरण का सिद्धांत। पोंकारे की आलोचना ऐसे समय में की गई थी समुच्चय सिद्धांत अपनी प्रारंभिक अवस्था में था और विरोधाभासों से ग्रस्त था, और मैंने सोचा कि उनके दृष्टिकोण का खंडन किया गया था उनकी मृत्यु के बाद सेट सिद्धांत की प्रगति हुई।

हालांकि आधुनिक तर्क को ब्राउज़ करते हुए मुझे आश्चर्य हुआ और जेच जैसी सैद्धांतिक किताबें सेट करें, मैं सिद्धांत देखता हूं उदाहरण के लिए अनौपचारिक रूप से स्थापित करने के लिए प्रेरण का उपयोग किया जाता है प्रथम क्रम विधेय तर्क या कई बुनियादी की स्थिरता सूत्रों पर प्रेरण के माध्यम से सैद्धांतिक कथन सेट करें। इससे यह प्रतीत होता है कि कोई स्थिरता नहीं है परिणाम इस सिद्धांत की अपील के बिना, अनौपचारिक रूप से प्राप्त किया जा सकता है।

मुझे पोंकारे की शैली में उस बिंदु पर जोर देने दें: फिलहाल प्रेरण के सिद्धांत को औपचारिक रूप दिया गया है आधुनिक सेट-सैद्धांतिक गणित में, की निरंतरता इसकी सत्यता पर ज़ोर देने के लिए पहले क्रम के तर्क की आवश्यकता होती है, और ऐसी स्थिरता वास्तव में प्रेरण के सिद्धांत पर निर्भर करती है।

तो, क्या पोंकारे यह कहने में सही थे कि प्रेरण का सिद्धांत है यह हमारे अंतर्ज्ञान का हिस्सा है और तर्क, सेट सिद्धांत या अन्य से अप्रासंगिक है आम तौर पर गणितीय औपचारिकता, इस अर्थ में कि इसकी आवश्यकता है गणित की सबसे पहली नींव तैयार करने के लिए?

बेशक सेट सिद्धांत मुख्य रूप से प्रेरण, विशेष रूप से ट्रांसफ़ाइनिट प्रेरण से संबंधित है। एड्रियन माथियास ने सेट सिद्धांत को अच्छी तरह से स्थापित पुनरावर्ती परिभाषाओं के अध्ययन के रूप में वर्णित किया है, जो एक ऐसा विवरण है जो मुझे लगता है कि कई सेट सिद्धांतकारों को सटीक लगता है। और निश्चित रूप से यह पुनरावर्तन और इसलिए प्रेरण को भी विषय के केंद्र में रखता है।

सेट सिद्धांत, इस अर्थ में, इसके मूल में प्रेरण से संबंधित है। सेट-सैद्धांतिक ब्रह्मांड की संचयी अवधारणा, जो वर्तमान में सेट सिद्धांत की सभी केंद्रीय अवधारणाओं को अनिवार्य रूप से रेखांकित करती है, स्वाभाविक रूप से एक ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा उत्पन्न होती है। इसलिए यह समझना कठिन है कि कोई सेट सिद्धांत के संस्करण को बिना किसी प्रेरण के कैसे समझना चाहेगा।

सेट सिद्धांत के कुछ दार्शनिक (ठीक है, ठीक है, मैं अपने बारे में सोच रहा हूं, लेकिन मैं अकेला नहीं हूं ) यदि कोई मुख्य सेट सिद्धांत सिद्धांतों (अनंत के स्वयंसिद्ध और पसंद के स्वयंसिद्ध सहित) को अनिवार्य रूप से मानता है, तो गणित की नींव के रूप में सेट सिद्धांत की भारी सफलता को तर्क पर स्थापित गणित के लिए तर्कवाद के प्रमुख लक्ष्यों को अनिवार्य रूप से पूरा करना माना जाता है। प्रकृति में तार्किक. और मुझे लगता है कि यह एक ऐसा दृष्टिकोण है जिसका उल्लेख आपने अपने प्रश्न में किया है। लेकिन इस दृष्टिकोण के साथ सार्वभौमिक सहमति नहीं है, और मामला विवादास्पद बना हुआ है।

इस बीच, यह तथ्य कि सेट सिद्धांत अनिवार्य रूप से प्रेरण और पुनरावृत्ति को शामिल कर रहा है, विशेष रूप से ट्रांसफ़िनिट में, पहले में कुछ अन्य चीजों का खंडन करता प्रतीत होता है आपके प्रश्न का भाग।

आपके प्रश्न के दूसरे भाग में, हालाँकि, आपका उदाहरण वास्तव में सेट सिद्धांत के बारे में नहीं है, बल्कि सेट सिद्धांत के मेटाथ्योरी के बारे में है। सेट सिद्धांत में सूत्रों पर प्रेरण एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक मेटाथियोरेटिक दावे के रूप में कि प्रमेयों की अनंत योजना का प्रत्येक उदाहरण वास्तव में एक प्रमेय है। उदाहरण के लिए, हम इसका उपयोग प्रतिबिंब प्रमेय को सिद्ध करते समय और कई अन्य मामलों में करते हैं। मेटाथियोरेटिक इंडक्शन का उपयोग न केवल सेट सिद्धांत में, बल्कि अन्य सिद्धांतों के मॉडल सिद्धांत में भी व्यापक रूप से किया जाता है। जैसा कि क़ियाओचू ने आपके प्रश्न पर अपनी टिप्पणी में उल्लेख किया है, हम यह परिभाषित करने के लिए सूत्रों पर पुनरावृत्ति का उपयोग करते हैं कि सूत्र पहले स्थान पर क्या हैं।

इस अर्थ में, आपके प्रश्न के बारे में कुछ हद तक कालानुक्रमिक है। तर्कवाद की चिंताएं और गणित को तर्क पर स्थापित करने की समस्या मेटाथोरिक तरीकों के बजाय गणित के मूल सिद्धांतों पर केंद्रित थी। दरअसल, सिद्धांत/मेटाथ्योरी भेद एस था